수학의 함수와 프로그래밍의 함수

함수 函 상자(지닐) 함 數 셈 수 

" 정의역 집합 의 원소 x를 정확히 하나의 공역 집합의 원소 y에 대응되는 관계 "

 

 - 어떤 집합의 각 원소를 다른 집합의 유일한 원소에 대응되는 것이다.

   => 하나의 값은 오직 하나의 값을 갖는다.

 - 그렇기 때문에 함수란 어떤 값을 연산했을 때 특별한 조건 없이 어떤 값이 나올 지 알 수 있어야 한다.

 

---

차이점 1)

 - 수학의 함수는 참조 투명성 ( Referential Transparency)를 갖는데 어떤 함수에 대해서, 인자만 같다면 항상 같은 

   같은 값으로 evaluate( 평가 ) 된다는 뜻이다.

   만약 f(x) = x + 5 라면 f( 0 )은 5로 항상 대체 가능하다.

 

 - 하지만 프로그래밍에서는 참조 투명성이 항상 지켜지는 것이 아니다.

   가장 쉽게 떠올릴 수 있는 예로, 전역 변수를 사용하는 함수를 생각해 볼 수 있다.

let global;

function sum(a) {
  return a + global;
}

console.log(sum(global)); // ?

 - sum( 0 )에 대해서 리턴값이 유일하게 결정되는가? 전역 변수 global 값에 의해 얼마든지 달라질 수 있다.

   즉 sum( 0 )이 0일 수도, 그 외의 값일수도 있으므로 sum( 0 )을 항상 같은 값으로 evaluate 혹은 대체 할 수 없다.

 

※ 물론 프로그래밍의 함수도 참조 투명성을 가질 수 있다. 함수 구현을 통해 얼마든지 가질 수 있는 특성이고, 

   아예 함수형 언어처럼 참조 투명성을 강제하는 것도 가능하다.

 

차이점 2)

 - 프로그래밍의 모든 함수의 인자는 가질 수 있는 값이 유한하다. => 프로그래밍 함수의 인자는 항상 유한 집합이다.

 - int를 예로 들면 32비트 시스템에서 오직 2^32가지의 인풋을 가질 수 있을 뿐이다. long long이나 bigint등의 더 큰

   자료형을 가질 수도 있지만 인풋 가짓수가 유한하다는 데에는 변함이 없다.

    => 이는 유한한 메모리를 갖고 유한한 시간 내에 종료되어야 하기 때문이다. 

          반면 수학의 경우 무한 집합에 대해서도 얼마든지 정의 될 수 있다 f( x ) = x + 2 x는 자연수로 정의하면 이미

          인자가 무한 집합이다.

 

 - 프로그래밍에서 진정한 의미의 실수 ( Real number)는 존재할 수가 없으므로 foat이나 double등도 한정된 인풋을 

   가지며 마찬가지로 2^bits가지의 인풋이 준재할 수 있다. 

 - 즉 프로그래밍 함수는 가산 집합에 대해서만 정의 될 수 있다. 반면에 수학에서의 함수는 실수나 복소수 등 

   비가산 집합에 대해서도 얼마든지 정의 할 수 있다.

 

차이점 3)

 - 수학에서는 공집합( 리턴값이 없다 )이 아닌 집합으로 대응되는 함수를 정의할 수 없지만 프로그래밍에서는 

   얼마든지 가능하다. 리턴 값이 void인 함수들이 여기에 해당한다.

 

블로거를 쓴 저자의 추측

 => 사실 애당초 프로그래밍에서 함수른 이름은 잘못 되었다. 즉, 애당초 비교될 대상이 아닌 데 처음에 이름을 잘 못 지었기 때문이다. 프로그래밍에서 함수는 단순히 subroutine (: 서브루틴(한 프로그램 내에서 필요할 때마다 되풀이해서 사용할 수 있는 부분적 프로그램), 혹은 computational: 계산적인 procedure: 절에 불과하다. 초기 프로그래밍 언어의 함수는 수학 함수를 모방하여 만들어 졌지만, 현대 컴퓨팅 아키텍처 상의 한계 때문에 수학의 함수와 동일 할 수 없다. 위의 [2]가 이에 해당한다. 또한 편의상의 이유로 다른 특징을 갖는 경우도 있다. 위의 [3]이 이에 해당한다. [1]은 기본적으로 편의상의 차이점이지만 관점에 따라선 컴퓨팅 아키텍처 상의 한계로 볼 수도 있겠다.

 

---

 

수학의 함수와 프로그래밍에서의 함수의 차이

 

What is the difference between functions in math and functions in programming?